第一章 牛顿力学
物体空间位置随时间的变化，称为机械运动，简称运动.物质的所有运动形式几乎
都涉及机械运动，机械运动是最基本的运动形式.力学是研究机械运动的一门学科，也
是物理学乃至自然科学的基础，无论是高考大纲还是竞赛大纲，对力学内容的要求都是
最多的．
研究机械运动，力学采取的方法是由表及里，由现象到本质的研究步骤.运动学只
对机械运动的现象进行研究，研究机械运动内在的规律属于动力学．
第一节 运 动 学
一、质点运动的基本概念
1.参照系与质点
为描述物体的运动而事先选定的一个静止物体叫参照系，将坐标系固定在参照系上
才能定量地描述物体的运动.力学中所描述的物体的运动都是相对的.一般情况下默认
的参照系是地面或地面上的建筑物．
质点是一个理想化的物理模型，是具有一定质量的几何点.若在分析某具体问题时，
实际物体的形状和大小可以忽略，这个物体就能看作质点.通常在两种情况下物体能够
看作质点： 该物体的几何线度与所讨论问题中的其他物体的几何线度相比可以忽略时；
该物体上每点的运动状态都相同时．
在物理学中，为突出所研究问题的主要矛盾，忽略次要矛盾，常用理想模型代替实
际研究对象.这样就能将复杂问题简单化，便于找出基本规律．
2.位置、位移和路程
物体在某一时刻的空间位置，在直角坐标系中用位置矢量r 来描述.位置矢量r 的
定义为自坐标原点到质点位置P（ x，y，z） 所引的有向线段，大小为x2 + y2 + z2，方
向自原点指向P.
某质点经时间Δ t 后由位置P 运动到位置Q，则由P 指向Q 的有向线段就叫时间Δ t
内该质点的位移.位移是矢量，大小为所讨论质点在某段时间的始末位置间的直线距离，
方向由始点指向末点.位移也是该质点在这段时间内位置矢量的增量，即Δs ＝ r（ t +
Δ t） - r（ t）.
质点运动在时间Δ t 内的运动轨迹的长度为路程.路程是标量.当质点作单向直线运
动时，或我们所讨论时间Δ t 极小时，路程和位移的大小相等．
3.速度与速率
速度与速率是描述质点运动快慢的物理量．
质点在一段时间内通过的位移与所用时间的比值为平均速度，说明这段时间内质点
运动快慢的平均效应，表示为
-
＝ Δs
Δ t ； 若所用时间Δ t ?0，则上述比值为质点在某一位
置或某一时刻的瞬时速度，简称速度，表示为＝ lim Δ t ?0
Δs
Δ t.速度是矢量，方向为位移Δs
的方向．
质点在一段时间内通过的路程与所用时间的比值为平均速率； 若所用时间Δ t ?0 ，
则上述比值为质点在某一位置或某一时刻的瞬时速率，简称速率.速率是标量．
4.加速度
加速度是描述质点运动变化快慢的物理量．
质点在一段时间内速度的增量与所用时间的比值为平均加速度，说明这段时间内质
点运动变化快慢的平均效应，表示为a ＝ Δ
Δ t ； 若所用时间Δ t ?0，则上述比值为质点在
某一位置或某一时刻的瞬时加速度，简称加速度，表示为a ＝ lim Δ t ?0
Δ
Δ t.加速度是矢量，
方向为速度增量Δ 的方向．
【例1】已知某质点的运动学方程为x ＝ （ t2 + 4）m，试求第1 秒末到第2 秒末这段时
间内的平均速度以及这两个时刻的速度和加速度．
【解析】平均速度大小为
v ＝ Δ s
Δ t ＝ x2 - x1
t2 - t1
＝ （ t22
+ 4） - （ t21
+ 4）
t2 - t1
＝ 8 - 5
2 - 1 ＝ 3m/s
方向沿x 轴的正方向．
瞬时速度大小为
v ＝ lim Δ t ?0
Δ s
Δ t ＝ lim Δ t ?0
（ t + Δ t）2 + 4 - （ t2 + 4）
Δ t ＝ lim Δ t ?0
2 t Δ t + Δ t2
Δ t ＝ 2 tm/s
方向沿x 轴的正方向.将t1 ＝ 1s，t2 ＝ 2s 代入上式，得第1 秒末和第2 秒末的速度大小分
别为
v 1 ＝ 2m/s，v 2 ＝ 4m/s
瞬时加速度大小为
a ＝ lim Δ t ?0
Δ v
Δ t ＝ lim Δ t ?0
2（ t + Δ t） - 2 t
Δ t ＝ lim Δ t ?0
2 Δ t
Δ t ＝ 2m/s2
方向沿x 轴的正方向.加速度为恒量，与时间无关．
二、运动的合成
1.矢量和标量
一个量不仅有大小，还有方向，这个量就是矢量.若某个量只用大小描述，这个量
则为标量.位移、速度、加速度等物理量是矢量，质量、时间、路程等物理量为标量．
标量间的运算为代数运算.矢量间的求和遵循平行四边形法则或多边形法则.矢量
能合成，也能分解.对多个矢量的求和通常采用的是先将矢量分解在相互垂直的两个或
三个方向上，求得各个方向上的合量后再合成为一个矢量的方法，即正交分解法．
2.运动的合成
运动的合成实际上是描述运动的位移、速度、加速度等物理量的合成，因此运动的
合成也遵循平行四边形法则．
质点运动的描述与参照物有关.我们一般将物体相对默认参照系的运动称为绝对运
动，而相对其他物体的运动称为相对运动，作为参照系的物体相对默认参照系的运动叫
做牵连运动，按运动的合成规律，有
v绝对＝ v相对+ v牵连 a绝对＝ a相对+ a牵连 r绝对＝ r相对+ r牵连
当质点所作运动是较复杂的运动时，为计算方便，我们常把质点的运动分解为几个
简单的运动来分别研究.这时，质点的实际运动为合运动，分解后的运动为分运动.无
论空间是否存在其他运动，任何一个分运动都遵循自身的规律，这就是运动的独立性原
理.如抛体运动就分解为水平的匀速直线运动与竖直的匀加速直线运动．
【例2】设河水流速为v 1，小船在静水中航行的速度为v 2，若小船从一岸行驶到对
岸，问当船的航行方向怎样时，才能（1） 小船所花时间最短； （2） 小船所经过的路程
最短？
图1-1
【解析】以地球为参照物，小船渡河的速度为水流速度与船速
的矢量和．
（1） 小船渡河到对岸所花的时间只与船速有关，要使时间最
短，必须让航行方向垂直水流指向对岸．
（2） 当v 2 ＞ v 1 时，最短的路程就是河宽，此时船的运动方向
图1-2
指向对岸.如图1 -1 所示，船行的方向偏向上游，与两岸垂线的角
度为α ＝ arcsinv 1 / v 2.
当v 1 ＞ v 2 时，小船不可能垂直于对岸运动，但可以找到一个
运动方向使得路程最短.如图1 -2 所示，设河宽为s，小船的矢量
三角形Ov v 1 中，设∠ Ov v 1 ＝ θ，由正弦定理得v 2
sinβ ＝ v 1
sinθ，可得
sinβmax ＝ v 2
v 1
.由此可见，只有当θ ＝ π/2 时，即合速度与船速垂直时，小船才有最短路
程.此时船的航行方向偏向上游，与水流的夹角为
π
2 + arcsin v 2
v 1
，其经过的路程为
式中s 为河宽．
3.物体系统的速度
对于由物体组成的系统在运动时，各物体也可以有相对系统的运动，此时，这些物
体的运动速度满足下列规律：
① 刚性杆、绷紧的绳上各点在同一时刻具有相同的沿杆、绳的分速度；
② 不同的接触物在接触面法线方向的分速度相同，切向分速度在无相对滑动时也
相同；
③ 系统组成线状交叉物时，交叉点的速度是相交物沿双方切向运动分速度的矢量和．
三、抛体运动
1.平抛运动
只受自身重力作用并具有水平初始速度的物体在空中的运动为平抛运动.一般将平
抛运动在平面直角坐标系中分解为水平方向以初始速度v 0 为恒定速度的匀速直线运动和
竖直方向的自由落体运动.其相关量为
（1） 位移
水平方向 x ＝ v 0 t
竖直方向 y ＝ 12
gt2
合位移 大小s ＝ x2 + y2 ＝ （ v 0 t）2 + 12
gt2
2
方向α ＝ arctan gt
2 v 0
，α 为位移与水平方向的夹角．
（2） 速度
水平方向 v x ＝ v 0
竖直方向 v y ＝ gt
合速度 大小v ＝ v x
2 + v y
2 ＝ v 0
2 + （ gt）2
方向β ＝ arctan gt
v 0
，β 为速度与水平方向的夹角．
（3） 加速度
直角坐标系 ax ＝ 0，ay ＝ g
自然坐标系 an ＝ gcosα ＝
g v 0
v20
+ （ gt）2 ，aτ ＝ gsinα ＝ g2 t
v20
+ （ gt）2
（4） 轨迹
由水平方向和竖直方向位移公式消去时间参数t，得y ＝ g
2 v20
x2.此轨迹曲线为过原
点的抛物线（如图1 -3 所示），v 0 越大，图线张开程度越
大，射程越大．
2.斜抛运动
只受自身重力作用且初始速度与水平方向成一定夹角的
物体在空中的运动为斜抛运动.初速度有一定仰角的叫斜上
抛运动，初速度有一定俯角的叫斜下抛运动．
仰角为θ 斜上抛运动可按如下方式分解．
（1） 将斜抛运动在平面直角坐标系中分解为水平方向的
匀速直线运动和竖直方向的上抛运动.其相关量为
1） 位移
水平方向 x ＝ v 0 cosθ ? t
竖直方向 y ＝ v 0 sinθ ? t - 12
gt2
2） 速度
水平方向 v x ＝ v 0 cosθ
竖直方向 v y ＝ v 0 sinθ - gt
3） 加速度
水平方向 ax ＝ 0
竖直方向 ay ＝ g
4） 轨迹 由位移关系消去时间参数t，得
y ＝ x tanθ - g
2 v20
cos2 θx2
5） 特征量
飞行时间 T ＝ 2 v 0 sinθ
g
射高 H ＝ v20
sin2 θ
2 g
射程 S ＝ v20
sin2θ
g
（2） 将斜抛运动分解为沿初速方向的斜向上的匀速直线运动和竖直方向的自由落体
运动．
（3） 若在斜面上讨论斜抛运动，可沿斜面和垂直斜面方向作x 、y 轴，把初速度和
加速度都分解在此二方向上，物体在这两个方向上作匀加速直线运动．
【例3】一仓库高20m 、宽40m，在仓库前某处A 点抛一石块过屋顶.试问： A 距仓
库前多远，所需初速度v 0 最小且具体值为多少？ （ g ＝ 10m/s2 ）
【解析】如图1 -4 建立坐标系.要使v 0 最小，则要求石块擦着仓库边缘B 、C 两点
飞过，而对BC 段的讨论就是对射程的讨论.如图1 -4 ，
S B C ＝ v 2
B sin2α
g
v 2
B ＝ S B C g
sin2α
可见，当α ＝ 45° 时，v B 有最小值，为v B min ＝
S B C g ＝ 40 × 10 ＝ 20 （m/s）.
现在以- v B 为初速作斜向下抛运动，则可求A 点距仓库的距离l.
设由B 到A 的时间为t，有
h ＝ v B y t + 12
gt2
将h ＝ 20m 代入，可求得时间的有效值为t ＝ 6 - 2 s.则有l ＝ v B x t ＝ 14畅6m.对初速
v 0 x ＝ v B x ＝ 10 2 m/s
v 0 y ＝ v B y + gt ＝ 10 6 m/s
v 0 ＝ v 2
B x + v 2
B y ＝ 28畅2m/s
tanθ ＝
v 0 y
v 0 x
＝ 3，θ ＝ 60°
四、圆周运动
1.匀速圆周运动
质点运动的轨迹为圆，并且在任何相等时间内走过的圆弧长度都相等的运动就是匀
速圆周运动.匀速圆周运动是周期运动，质点走过一个圆周所用时间为周期，用T 表
示； 在单位时间内走过的圆圈数是频率，用f 表示.周期与频率互为倒数，即T ＝ 1/ f.
T 与f 都是常数.若圆周半径为r，质点在时间t 内走过的弧长为s，该弧长所对圆心角
为θ，则角速度ω ＝ θ/ t ＝ 2π/ T ＝ 2π f ； 线速度大小v ＝ s/ t ＝ 2π r/ T ＝ 2π rf ＝ ω r，方向沿
圆周某点的切线方向.线速度大小不变，因此沿轨迹切线方向的切向加速度aτ ＝ 0 ； 但
速度方向要变化，与速度方向垂直且指向圆心的法向加速度an ＝ v 2 / r ＝ ω 2 r 为匀速圆周
运动的加速度.虽然法向加速度的大小是常数，但方向在不停变化，因而匀速圆周运动
是变加速运动．
2.非匀速圆周运动
角速度或线速度的大小都在变化的圆周运动叫非匀速圆周运动.非匀速圆周运动的
加速度一般分解为切向加速度和法向加速度，即a ＝ an + aτ，其中aτ ＝ lim Δ t ?0
Δ v
Δ t，an ＝
v 2
r.切向加速度描述速度大小的变化，法向加速度描述速度方向的变化.若令β 为角加
速度，描述角速度随时间的变化，则切向加速度aτ ＝ lim Δ t ?0
Δ v
Δ t ＝ r lim Δ t ?0
Δ ω
Δ t ＝ rβ.
对于一般曲线运动的加速度，我们也总是用切向加速度和法向加速度作为分加速度，
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