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数学猜想与发现 
定 价：29 元 丛书名：趣味数学丛书
9 7 3 8 2 7 6 0 3 3 9 0 3 读者对象:数学爱好者 
数学猜想与发现，就像数学领域中两颗耀眼的明珠，放射着人类智慧的光芒，是科学宝库中无价的财富。
本书用通俗、生动的语言，翔实介绍数学历史上一些伟大而有趣的猜想和发现，以及人们前赴后继地发现这些数学知识的曲折、有趣甚至是惊心动魄的过程。这些为数学宝库增色添彩的猜想和发现能够激发我们学习数学的兴趣，开启潜在的创新意识。 本书适合广大数学爱好者阅读，可供大、中、小学师生教学参考、课外阅读，也可供数学史和文化史的爱好者参阅。 更多科学出版社服务，请扫码获取。 
令人叫绝的奇思妙想，曲折离奇的伟大发现，惊心动魄的数学世界，思维锻炼，乐趣无限。
徐品方，1935年生，四川西昌市人，毕业于今四川师范大学数学系。四川西昌学院副教授，四川师范大学兼职教授。中国数学会及数学史分会会员，四川省科普作家，凉山州老科技工作者系会副会长。编著出版数学教育和数学史著作30部，共500多万字。发表论文或科普文章70多篇。专著有《趣味古算师题解》、《数学趣话》、《白话九章算术》、《数学诗歌题解》、《女数学家传奇》、《笛卡尔》、《数学王子高斯》、《定理多证，定义多解》；合著《数学符号史》、《中国古算家的成就与治学思想》、《中学数学简史》、《中世纪数学泰斗秦九韶》、《古算诗题探源》；主编《数学简明史》；参编师专教材《初等几何研究》，以及大学教材《数学简史》、《世界大发现》（数学·物理学卷）等。
陈宗荣，1962年生，毕业于四川师范大学数学系，现为四川西昌学院副教授。在省级以上刊物发表论文12篇，主编教材《概率论与数理统计》，并获四川省人民政府成果二等奖；参编《计算机基础》。
目录
前言 第一部分 妙趣横生的猜想 第1章 风靡世界的“冰雹猜想” 3 1.1 奇妙的发现 3 1.2 名目繁多的命名 4 1.3 尚待解决的悬案 6 第2章 诱人的哥德巴赫猜想 9 2.1 公使提出的难题 9 2.2 巧设悬念生波澜 10 2.3 另辟蹊径冲刺“1+1” 11 2.4 移动群山的人 12 第3章 电脑证明了四色猜想 14 3.1 四色猜想的由来 14 3.2 上天在责我狂妄自大 16 3.3 机械证明的曙光 17 3.4 争论与困惑 18 3.5 争论中诞生“数学实验” 19 第4章 费马猜想梦想成真 23 4.1“千古之谜”引来高额悬赏 23 4.2 很难抓到的一只生金蛋的母鸡 24 4.3 攀登蹊径 踏出新路 26 4.4 姗姗来迟的证明 28 第5章 充满猜想的回文数 31 5.1 从回文诗说起 31 5.2 什么是回文数和逆序数 32 5.3 回文数知多少 33 5.4 回文数的和 34 5.5 逆序数之和的猜想 35 5.6 回文数的差 36 1. 不借位的差 36 2. 逆序数之差的猜想 37 3. 数字陷阱495 40 4. 奇妙的6174 42 5. 永不变的1089 42 5.7 逆序数乘法 43 1. 逆序积等式 43 2. 乘积逆序数 44 3. n位逆序数问题 44 5.8 回文（逆序）数平（立）方 45 1. 回文数的平（立）方 46 2. 平方逆序数 47 5.9 逆序勾股数 49 5.10 回文素数 50 1. 发现回文素数简况 50 2. 回文素数的几个独特性质 52 3. 互为逆序素数 52 5.11 三阶幻方中的逆序数 53 1. 一位数情况 53 2. 逆序数是两位数的情况 53 3. 逆序数是三位数的情况 54 4. 三阶幻方中,还存在一些互为逆序数的特殊性质 54 第6章 错误的猜想选介 57 6.1 费马素数猜想 57 1. 费马素数（公式）的来由 57 2. 欧拉说不 58 3. 一石激起千层浪 59 4. 高歌攀登一插曲 61 6.2 为找素数公式竞折腰 62 1. 扑朔迷离的素数公式 63 2. 欧拉多项式 63 3. 攀山千条路 65 4. 引无数英雄竞折腰 66 6.3 其他失误猜想选介 66 1. 6n-1和6n+1猜想 67 2. 素数与合数交替猜想 67 3. 哥德巴赫另一个猜想 68 4. 梅森素数猜想 68 5. 欧拉方程猜想 69 6. 欧拉36军官问题 69 7. xn-1分解问题 70 8. xxyy=zz的整数解 71 第7章 攀登数学猜想或难题的勇士 74 7.1 少女攻克了猜想 75 7.2 数学奇才智斗美女蛇 76 7.3 丢番图难不倒中国人 78 7.4 柯召问题 79 7.5 不定方程选介 79 1. 巴切问题 80 2. x2+1=3yn问题 80 7.6 卡塔兰猜想 81 7.7 卡塔兰数 82 7.8 素数n-2k猜测 83 7.9 贝特兰德猜想 83 第8章 你也可以提出猜想 87 8.1 观察猜想 87 8.2 归纳猜想 88 8.3 类比猜想 90 附录 数学归纳法小史 94 第二部分 曲折的数学发现 第9章 哥伦布的鸡蛋 99 9.1 早期的零号 99 9.2 印度和中国的零号 101 9.3 神奇的零的特性 102 1. 零的地位 102 2. 零的排行 102 3. 零的个性 102 4. 零的神通 102 5. 零的局限 103 6. 0不能作除数 103 9.4 0为什么作为一个自然数 103 9.5 零号的故事 104 第10章 人类智慧的胜利 107 10.1 负数的产生与使用并行 107 10.2 中国首先定义和表示负数 109 10.3 欧洲人的负数之争 110 10.4 人类智慧的最后胜利 112 10.5 为什么“负负得正” 113 第11章 付出生命的发现 115 11.1 发现者的悲剧 115 11.2 漫长的认识路 117 11.3 有与无理数译名之争 118 第12章 揭开神秘的面纱 121 12.1 一波未平一波生 121 12.2“两栖怪物”的出现 122 12.3 理直气壮认虚数 122 12.4 披上了神秘的面纱 123 12.5 揭去面纱的勇士 125 第13章 博物馆的老古董 127 13.1 站在复数的肩膀上前进 127 13.2 降生在桥上的四元数 128 13.3 四元数的辉煌 129 13.4 四元数的应用 130 13.5 数系扩充原则 131 第14章 最早的数学竞赛 134 14.1 漫长的发现之路 134 14.2 数学竞赛赛出了公式 135 14.3 冠名权之争 138 14.4 四次方程解法的诞生 141 第15章 纳皮尔的贡献 143 15.1 发明对数的先驱 143 15.2 纳皮尔的贡献 144 15.3 春潮澎湃花更鲜 145 15.4 对数表的诞生 147 15.5 对数的前途 148 15.6 负数和零没有对数 148 第16章 一颗难找的珍珠 150 16.1 发现完全数的先驱 150 16.2 千年跨一步 151 16.3 发现不是一帆风顺的 152 16.4 稀奇古怪的传说 154 16.5 迷人的性质和待揭之谜 155 第17章 相亲相爱的数 157 17.1 第一对亲和数 157 17.2 2000多年跨出一步 158 17.3 一鸣惊人的欧拉 159 17.4 看似平凡最崎岖 160 第18章 与人类智慧的较量 162 18.1 梅森素数的来历 163 18.2 玉有瑕疵也斑斓 164 18.3 用计算机寻觅梅森素数 165 18.4 网民志愿者大搜索 166 18.5 2的方次幂有多大 168 第19章 真理不是乌鸦 170 19.1 从五角星谈起 170 19.2 黄金分割的起源 171 19.3 云开别有天 173 19.4 生活中的0.618 174 第20章 轰动世界的一个定理 178 20.1 遥远的往事 178 20.2 轰动世界的证明 179 20.3 柳暗花明又一村 181 20.4 中国人也不弱 183 第三部分 数学革命性的发现 第21章 数学的伊甸乐园 187 21.1 从有理数和无理数哪个多说起 187 21.2 集合论的诞生 188 21.3 揭开无限的奥秘 190 21.4 遭到传统势力的攻击 191 21.5“疯子”的胜利 192 21.6 集合应用举例 194 第22章 一座高耸的丰碑 196 22.1 向人类的智慧挑战 196 22.2 穷人孩子多奇志 197 22.3 珍贵的科学遗书 199 22.4 数学史上一座丰碑 200 第23章 电脑证题梦想成真 203 23.1 数值机械计算的产生与发展 203 23.2 机械证明的创立 205 23.3 中国人的骄傲 206 23.4 消点法震惊了世界 207 第24章 充满模糊的世界 209 24.1 模糊中偶见光明 209 24.2 一声惊雷平地起 210 24.3 星星之树长成阳光之林 211 24.4 模糊数学的应用 212 24.5 向前走会产生信念 213 第25章 无尽相似的艺术 215 25.1 从“布朗运动”说起 215 25.2 从海岸线长说起 216 25.3 数学中的病态怪物 216 25.4 分形几何的诞生 219 25.5 丑小鸭长成天鹅 221 第26章 数学的一次革命 223 26.1 大千世界无奇不有 223 26.2 先驱者的足迹 223 26.3 自信是成功秘诀 225 26.4 争议引导前进 225 26.5 一次智力革命 227 [思维的体操]答案 228 参考文献 236
第一部分 妙趣横生的猜想
什么是数学猜想？ 数学中有着五花八门的猜想， 内容包罗万象、深浅不一。由于它相对清晰 易懂， 人们对它很感兴趣。 猜想是数学家归纳和类比思维的升华与结晶， 在数学群山之巅熠熠生辉， 它映现着数学家的睿智和才华， 放射着人类智慧的光辉， 是科学宝库中无价的 财富。它召唤着有志者以坚韧的毅力和顽强的奋进精神去攀登、摘取。 所谓数学猜想， 是根据某些已知事实与数学知识， 对未知的量及其关系所 作出的一种预见性的似真推断。 数学猜想， 大都是经过对大量特殊事实的观察、验证、类比、归纳和概括 而提出来的。它不是臆想， 不是毫无根据的断言， 更不是毫无规律的“胡言乱 语” ， 它既有一定的科学性， 又有某种假设性； 它“猜” 之有理， “想” 之有据。 一般说它的真伪性难以一时解决， 需要逻辑证明才能肯定， 有的猜想的证明十 分诱惑人， 它会耗尽几代人的心血。可是一旦证明， 便可名扬世界， 甚至惠及 子孙。因此， 人们从未放弃对数学猜想的研究。 数学猜想并不总是正确的， 有一个由“潜” 到“显” 的推理过程， 但在人 们攻克猜想真伪性的证明中， 不仅揭开这些数学规律之谜， 重要的是通过研究， 会发现数学新思想、新方法和新理论， 从而创立数学新分支。例如， 对大因数 分解的研究， 使人们发现了一门数论分支――计算数学； 在对“费马猜想” 的 攻克中产生了新分支――代数数论； 寻求五次以上方程求根公式过程中， 诞生 了群论。特别地， 有人对闻名世界的欧几里得《几何原本》中的第五公设（又 叫平行公理， 即“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”） 提出猜 想： 它不是一条公理， 可能是一个命题。人类在付出了高昂学费后， 证明这个 猜想是错误的。但在论证这个猜想时， 却诞生了一门新学科――非欧几何（异 于欧几里得几何的几何， 如三角形内角和大于或小于180°的新几何） 。又如， 在 攻克“四色问题猜想” 的计算机的证明后， 诞生了数学实验（见第26 章） … … 因此， 数学猜想对数学理论的发展和数学才能的培养都有特殊价值， 并且 对数学发挥着巨大的推动作用。英国大科学家牛顿（I.Newton ， 1642 ~ 1727） 说得好： “没有大胆的猜想， 就作不出伟大的发现。” 波兰数学家谢尔平斯基（W.Sierpinski ， 1882 ~ 1969） 也说过： “ 我们数论知识的积累， 不仅依靠已经 证明了的理论， 也依靠那些未知的猜想。” 美籍匈牙利数学家波利亚（G.Pò lya ， 1887 ~ 1985） 感慨地说： “要成为一个好的数学家… … 你必须首先是一个好的猜 想家。” 他甚至公开提出“让我们教授猜想吧” 的呼吁。苏联政治领袖列宁 （1870 ~ 1924） 也说过： “在数学上也需要幻想， 甚至没有它就不可能发现微 积分。” 可见， 数学猜想可以发现真理、发现新论断， 甚至可以预见证明的方法或 思路。 数学猜想不神秘， 它的问题陈述出来， 有些实在简单得连孩童也能明白所 讨论的是什么， 但是要解决它， 却非常人所及。本书将选介一些富有趣味性、 大家都能看懂的猜想， 让大家领略前人解决问题创新问题的思想方法， 启发思 想， 激活学习数学的兴趣， 说不定将来你可能为数学大厦抹一笔辉煌， “风起于 青萍之末” ， 一个人的数学成就， 无不对数学强烈的兴趣和执著的追求， 我们并 不要求一般人立刻着手去解决， “欲知松高洁， 待到雪化时” 。 愿青少年朋友乘上数学猜想的航船， 直挂云帆， 在智慧的海洋中尽情游览。 更希望青少年朋友莫错过学习的好时机， 时间像蒙面杀手最是冷酷无情， 擦肩 一过就把划痕刻在你的额头， 永难抚平。 历史是公正的， 不会把彩珠永远埋在土里。成功属于热爱读书和勇于自主 创新的人。 第1 章 风靡世界的“冰雹猜想” 曾有一个风靡世界并且十分有趣的数字游戏问题， 从小学生到大学生， 从 平民到官员， 从欧洲到亚非拉， 人人都会做这个游戏， 但要弄清它的道理却并 非易事。它真像一位美丽而古怪的姑娘， 对痴心倾慕她的人， 却不留点滴的顾 盼。这个问题现在已变成世界难题了。 1.1 奇妙的发现 有一个美丽的传说： 据说当年日本有一位中学生， 他发现了一个奇妙的定 理， 但不能证明， 于是他把问题寄给了角谷静夫（S.Kakutani ， 1911 ~ ） 教授。 教授对此题也无能为力。故有人把它叫做“角谷猜想” （张承宇， 1987）39 。角谷 1953 年成为美国耶鲁大学教授， 当时被列为日本第二次世界大战后“头脑外流” 名单上的第一号人物。 其实这是一个有趣的数字游戏。游戏的规则十分简单： 请你随便取一个自 然数x ， 如果它是偶数， 用2 除它； 如果它是奇数， 将它乘以3 之后再加上1 ， 这样反复运算， 最后结果必然是1 。 例如， 任取自然数x ＝ 6 ， 6 是偶数， 要先用2 除， 6 ÷ 2 ＝ 3 ； 3 是奇数， 要 将它乘以3 之后再加1 ， 即3 × 3 + 1 ＝ 10 ， 10 是偶数， 按上述游戏规则继续做下 去： 10 ÷ 2 ＝ 5 ， 3 × 5 + 1 ＝ 16 ， 16 ÷ 2 ＝ 8 ， 8 ÷ 2 ＝ 4 ， 4 ÷ 2 ＝ 2 ， 2 ÷ 2 ＝ 1 。 把上例游戏过程合写在一起： 6 ?6 ÷ 2 ＝ 3 ?3 × 3 + 1 ＝ 10 ?10 ÷ 2 ＝ 5 ?5 × 3 + 1 ＝ 16 ?16 ÷ 2 ＝ 8 ?8 ÷ 2 ＝ 4 ?4 ÷ 2 ＝ 2 ?2 ÷ 2 ＝ 1 。 再将此例的过程浓缩简写为6 ?3 ?10 ?5 ?16 ?8 ?4 ?2 ?1 。最后得自然 数1 。 又如， 任取一个奇自然数， 如x ＝ 17 ， 按照上面的游戏规则运算， 其运算过 程为： 17 ?3 × 17 + 1 ＝ 52 ?52 ÷ 2 ＝ 26 ?26 ÷ 2 ＝ 13 ?3 × 13 + 1 ＝ 40 ?40 ÷ 2 ＝ 20 ? 20 ÷ 2 ＝ 10 ?10 ÷ 2 ＝ 5 ?3 × 5 + 1 ＝ 16 ?16 ÷ 2 ＝ 8 ?8 ÷ 2 ＝ 4 ?4 ÷ 2 ＝ 2 ?2 ÷ 2 ＝ 1 。 简写为17 ?52 ?26 ?13 ?40 ?20 ?10 ?5 ?16 ?8 ?4 ?2 ?1 。经过12 步运 算， 最终得1 。 不妨请你按照上面游戏规则， 随便找几个自然数试试看， 你会发觉离奇曲折的奇怪现象， 如有时箭头指的数越来越大， 可是又会下降， 上升下降， 下降 上升， 经过上下浮沉， 最后“百川归大海” ， 都归结到1 。 不论手工计算还是用电子计算机来做这个游戏， 计算结果最后都得1 。日本 东京大学的米田信夫（ Nabuo Yonede） 对这个新奇有趣的数学游戏很感兴趣， 用计算机验算了240 （大约相当于12 000 亿） 以下所有的自然数， 没有找到一个 反例， 因此， 他认为发现是真的， 即最后都得1 。这是巧合吗？ 再说自然数无 限， 对所有自然数这个游戏都正确吗？ 从数学角度来看， 这个游戏实际上是个函数迭代问题， 具体地说， 当x 为 奇数时， f（ x） 取3 x + 1 ； 当x 为偶数时， f（ x） 取x／2 ， 写成式子为 f（ x） ＝ 3 x + 1 ， 当x 为奇数时 x 2 ， 当x 为偶数时 我们的问题是， 从任一个自然数开始， 经过有限次函数f 的迭代， 能否最 终得到1 ？ 有人断言一定得到1 ， 但至今没有得到理论上的证明。这就是前面有 人传说并称为“角谷猜想” 的由来。 1.2 名目繁多的命名 传说的“角谷猜想” 流传之广， 参与研究人员之多是空前的， 可是， 它最 初起源于何时何处何人， 众说纷纭， 说法不一， 至今名目繁多难确定。例如， 有人说， 20 世纪30 年代， 德国汉堡大学年轻学生柯拉茨（L.Collatz） 就研究过 这个问题。1950 年他在美国波士顿附近的剑桥召开的国际数学家会议上传播出 来， 因此这个问题又被称为“柯拉茨问题” 。 又有人说， 第二次世界大战前后， 在美国一个叫锡拉丘兹的地方， 也流传 这个数字游戏， 后来它被传播到欧洲， 在那儿风靡一时， 故又称“锡拉丘兹问 题” 。 1952 年， 英国数学家施威茨又重新独立地提出了这个问题。几年后， 美国 俄克拉荷马大学诺曼分校的安德烈再一次发现了这个问题。 20 世纪50 年代以来， 这个猜想像奇闻逸事般在世界各地流传， 如一段隽永 风趣的小品， 折射出神秘的哲理精蕴， 引起数坛老中青的广泛兴趣。在流传中 又不断得到了许多新的美名， 如柯拉茨的同事汉斯曾一度对此问题产生浓厚兴 趣， 并且参与证明它和推广它， 于是， 这个猜想又有“汉斯算法” 之称。20 世 纪50 年代， 汉斯曾在西那库斯大学访问， 附带介绍了这个猜想， 这个猜想又广 为流传， 有人称之为“西那库斯问题” 。据说当地的小孩都知道这个问题。 众多的说法中， 最引人注目的要数乌拉姆（又译为乌朗） 。美籍波兰数学家乌拉姆（M.S.Ulam ， 1909 ~ 1984） 是美国国家科学院院士、美国艺术与科学院 院士。他出生在一个犹太血统且富有教养的家庭， 他从小天资聪颖。据载， 他 11 岁就听得懂狭义相对论， 15 岁掌握了微积分、数论和集合论。1932 年， 23 岁时数学成就巨大， 被邀请在国际数学家大会上作了讲演， 这是许多大数学家 梦寐以求的殊荣。1935 年12 月他到了美国。美国并非遍地黄金， 因第二次世界 大战一大批优秀的外国数学家纷纷来到美国， 美国本土的数学家并不具备与这 批人抗衡的学术能力。美国当时经济不景气， 对流入美国的数学家持不欢迎的 态度， 很多人迟迟没有找到满意的工作， 但乌拉姆因数学出众， 成了例外。他 马上被安置在美国洛斯阿拉莫斯国家实验室――研制第一颗原子弹的基地工作， 在工作中显示出不凡的才华， 令同行刮目相看。20 世纪70 年代， 他写了一本饶 有趣味的数学家自传《一个数学家的遭遇》， 叙述了他坎坷一生。从此他名声大 震， 成为世界数学大明星和数学权威。乌拉姆也没有放过这个问题的研究， 并 且曾把它传到美国原子弹基地和其他地方， 随着他的名声而荡漾， 这些地方又 称之为“乌拉姆问题” 。 美国数学科普作家加德纳（ M.Gardner 1914 ~ ） 主持《科学美国人》杂志 “数学游戏” 专栏长达25 年， 他写了可集成11 本书的科普读物， 如《科学名词 中的时尚与谬误》、《数学狂欢节》等， 他的科普文章能激励读者的数学智力和 数学思维， 使读者惊奇， 内容也丰富多彩， 令人感到数学及其思想方法十分有 趣， 在美国或一些国家青少年中享有很高威望。加德纳也没有放过风行于教师、 研究员以及青少年的这个猜想， 他发表文章对其进行介绍， 更加速了这个猜想 的传播， 让这个猜想一时风靡世界。 美国一位数学家说： “有一个时期， 在美国大学里， 它几乎成了最热门的话 题。数学系和计算机系的大学生， 差不多人人都在研究它。” 1960 年， 角谷曾撰文描写过人们对这个问题的狂热情景： “据说， 在耶鲁大 学有长达一个月之久的时间， 人人都在研究这个问题， 但没有任何结果。我到 芝加哥大学提出这个问题后， 也出现了同样的现象。甚至有人开这样一个玩笑 说， 这个问题是企图减缓美国数学研究发展的一个阴谋。” 足见这个问题的巨大 吸引力。 事实上， 当时几乎有文化而又感兴趣的男女老幼纷纷被卷入漩涡， 关于这 个猜想的讨论热烈到顶峰， 人人企盼攻克， 一夜成名， 结果弄得美国中央情报 局产生疑心， 误认为是苏联克格勃（情报机关） 所使用的“特务” 诡计， 企图 使美国人把宝贵时间陷入这个数字游戏， 不务正业。苏联的解体， 疑虑不攻 自破。 这个游戏传入中国后， 名称颇多， 如“角谷猜想” 、“3 x + 1 猜想” 等， 前一个以人名命名， 而后一个只讲了奇数一种迭代法则， 漏掉了偶数情况， 显然 欠佳。 我们喜欢将其命名为“冰雹猜想” 。为什么呢？ 因为在晚春或夏天云层中的 冰粒， 受到气流的激烈运动， 时而向上， 时而向下， 好像迭代运算过程中数字 忽大忽小， 并且不可预测的突发现象， “冰雹” 就是从空中降下来的冰块， 伴随 着巨大的雷雨， 来势迅猛， 令人惊恐， 一旦冰块落地， 烟消云散， 最后又回到 正常， 相当于迭代运算又回归到1 。因此， 本节采用“冰雹猜想” 作为标题。 此外， 还有人将迭代中所得到的一列数称为冰雹数。 根据盖伊考证， 这个游戏早在第二次世界大战前由柯拉茨提出， 如果这个 考证时间属实， “冰雹猜想” 最早诞生于20 世纪30 年代。但是谁在何处首先发 现就难考证了。因此， 后人遂不以人名、地名命名， 干脆称之为“冰雹猜想” 。 1.3 尚待解决的悬案 由于冰雹猜想的题面简单， 所涉及的知识不超过算术四则运算， 它像“哥 德巴赫猜想” 一样， 引起了一个国际性的“冰雹猜想” 热。美国电话公司信息 系统实验室的罗森甚至有意将“冰雹猜想” 写在他1984 年出版的数论书的封面 上。20 世纪70 年代初， 美国麻省理工学院人工智能实验室的一个专门小组用计 算机进行了一段时期的研究， 并在他们的报告上列为第133 号问题。“冰雹猜 想” 又席卷全世界。 数学家意气勃发地从正面直接证明“冰雹猜想” ， 累累失败。于是有人提出 另一条进攻的蹊径， 认为在迭代过程中只要出现一个2 的幂2n （ n 为正整数） ， 问题自然就解决了， 而2 的幂有无穷多个， 研究者们坚信迭代过程延续到足够 长的时间总要碰到。为了找到这条新路径， 他们又信心百倍地求证起来。可是， 随着时间的推移， 探索者发现问题并不那么简单， 迭代过程毫无规律， 变化无 穷， 神奇莫测， 令人眼花缭乱。 例如， 迭代运算过程中， 算出来的数字忽大忽小， 如上面x ＝ 17 时， 迭代 12 步中出现了52 ， 12 ， 40 ， 20 ， 10 ， 5 ， 16 ， 8 ， 4 ， 2 ， 1 ； 有的计算过程很长， 如从27 算到1 要经过111 步。具体迭代运算如下： 27 ?82 ?41 ?124 ?62 ?31 ?94 ?47 ?142 ?71 ?214 ?107 ?322 ?161 ?484 ?242 ?121 ?361 ?182 ?91 ?274 ?137 ?412 ?206 ?103 ?310 ?155 ?466 ?233 ?700 ?350 ?175 ?526 ?263 ?790 ?395 ?1186 ?593 ? 38步 1780 ?890 ?445 ?1336 ?668 ?334 ?167 ?502 ?251 ?754 ?377 ?1132 ?566 ?283 ?850 ?425 ?1276 ? 638 ?319 ?958 ?479 ?1438 ?719 ?2158 ?1079 ?3238 ?1619 ?4858 ?2429 ?
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