第1 章流体基本概念
1.1 概况
一般而言，计算流体力学属于流体力学的一个分支领域，也习惯将其称为计算流体动力学(computational.uiddynamics)，因其所涉及的主要是流体运动问题的数值求解。计算流体力学实质上是在流体力学的基础上，通过与计算技术的融合，拓宽了我们认识新的流动现象的深度和广度。
从另一个视角，计算流体力学也属于偏微分方程理论和数值计算的范畴，由这些严格的数学分析和计算技术作为基础，才有可能顺利地开展流动问题的求解，在这个过程中，自然也离不开如偏微分方程的理论分析、数值算法以及程序设计等具体内容。
因此，首先从了解流体的物理背景开始，理解并熟悉流体运动的描述方法，熟练掌握流动控制方程的推导，由此建立正确运用流动方程并灵活进行数值计算的必需基础。
1.2 流体属性
热力学上，通常将物质分为固体、液体和气体三态，很容易通过观察由其形态判别和相互区分。在流体力学中，只有两类物质，即流体和非流体(固体)。固体能够承受外部施加的剪切力并保持静止，而流体是不能的。但这也不是完全清晰的区分，例如，在室温下的一桶沥青，看起来硬得像石头，在上面放一块砖头，也丝毫不受影响。但是，若是把砖头一直放着，则过几天沉到桶底，再要取出来就困难了。因此，沥青通常划归流体。再看金属铝，在室温下，铝是固态的，可以做成任何形状，并且只要不超过材料极限它可以承受任意的外加剪应力。然而，一旦加热以后，铝就呈现液态，在外加剪应力作用下铝液作连续的变形。但是，也不能将高温作为区分金属流体特征的标准，因为金属铅在室温下就呈现出类似的黏性蠕动流特征。同时，我们还可以看到，水银也是一种流体，而且在常见的物质里面，相对于其密度而言，其黏度(运动黏度)是最小的。
这里所探讨的是公认为流体的介质，例如，所有的气体都可以认为是真正的流体，还包括一些常见液体，如水、油、酒精等。
在真正流体的范畴内，我们来定义和解释它们的属性。大致有如下四类：
(1)运动属性(线速度、角速度、涡、加速度以及应变率)，严格地讲，这些是流场属性，而非流体属性；
(2)传输属性(黏度、导热系数、质量扩散度)；
(3)热力学属性(压力、密度、温度、焓、熵、比热容、普朗特数、体积模量、热膨胀系数)；
(4)其他各种属性(表面张力、汽化压力、涡扩散系数、适应系数)。
第四项中的某些不属于真正的属性，但取决于流动条件、表面条件以及流体中的所含杂质。使用第三项中的属性也需要注意场合。严格意义上讲，处于运动中的黏性流体并不处于热平衡状态，这些属性并不适用。所幸的是，其偏离平衡态并不远，除了流体的弛豫时间很短且分子数较少，如稀薄气体超音速流。其原理可以这样理解，例如，从统计意义上，常压下的气体也是非常浓的，以1μm边长立方体内气体为例，其中大约含有108 个分子，对于这一体积的气体，当状态发生变化，甚至在发生激波变化时，它也能迅速恢复平衡态。这是因为如此多的分子在短距离内将发生大量的分子碰撞，碰撞后很快又恢复平衡，而液体更浓，所以完全可以假设它们是处于热平衡态的。
1.2.1 运动属性
对于流体，首先涉及的是流体的速度。而固体力学中，首先涉及的是质点位移，这是因为固体中，质点间以相对刚性的方式相联系。
由刚体动力学考虑火箭运动轨迹，只需求解出任意三个不共线的质点运动轨迹就可以了，因为任意其他质点的运动轨迹都可以由已知三点轨迹推算而得出。这种追溯单个质点轨迹的方法称为拉格朗日运动描述，在固体力学中非常有用。
但是，考察火箭喷管排出的流体流动时，显然不可能追溯上百万的质点轨迹。这里考察方式就很重要了，地面上的观察者看到的是复杂的非定常流，而与火箭一同飞行的观察者看到的是几乎非常规则的定常流动。因此，在流体力学中采用如下措施通常是非常有用的：①选择最便利的坐标系，使得观察时的流动是定常的；
② 只研究作为位置和时间函数的速度场，而不追溯任何质点轨迹。这种描述流动在每个固定点随时间变化的函数方式，称为欧拉方法。欧拉速度向量场可定义为如下直角坐标形式：
V(r，t)=V(x，y，z，t)=iu(x，y，z，t)+jv(x，y，z，t)+kw(x，y，z，t)(1-1)
求解三个随(x，y，z，t)变化的标量函数u、v、w，通常是流体力学的主要任务。与固体力学采用位移分量描述不同，流体通常采用(u，v，w)三个速度分量来表征。相对而言，位移在流体中没有太多实际用途，因此，也很少给出位移的变量描述。
欧拉方法，或者速度场无疑是描述流体力学问题的合适选择，但又存在一个矛盾，即三个基本物理守恒定律：质量守恒、动量守恒和能量守恒，它们都以质点为研究对象，即它们是拉格朗日属性的。这三个定律都与一个质点的某种属性随时间的变化率有关。令Q代表流体的任意属性，而dx、dy、dz、dt分别代表这四个变量的任意变化，这样，Q的总微元变化如下：
dQ =
Q
x
dx +
Q
y
dy +
Q
z
dz +
Q
t
dt (1-2)
因为我们追踪一个质点，那么空间增量如下：
dx=udt，dy=vdt，dz=wdt(1-3)代入式(1-2)，可以得到一个质点的Q属性的时间导数为
Q
+ u
Q
x
+ v
Q
y
+ w
Q
z
(1-4)dQ
=
dt
t
其中，dQ/dt的名称可以是物质导数、质点导数，名字不同，意义都是要让读者产生一种感觉，即我们是追踪一个质点的。为加强这种感觉，通常给它一个特殊符号DQ/Dt，主要是便于记忆，而无其他意义。式(1-4)右端后三项称为对流导数，因
Q
为，当速度为0，或者Q没有空间变化时，这三项就消失了。
项称为局部导数。
t
注意到，式(1-4)可以写为
Q
DQ +(V · .) Q (1-5)
=
Dt
t
其中，. 为梯度算子，展开如下：
i
x
y
+ k
z
(1-6)+ j
1.2.2 质点加速度
如果Q就是V本身，可以得到第一个运动属性，质点的加速度矢量为
V
DV DuDvDw+(V · .) V (1-7)= i + j + k=
t
Dt Dt Dt Dt
u
t
、v
t
、w
注意到，该加速度与u、v、w，以及12个标量导数有关，如
空间导数，形如
ui
xj
，这里，i、j代表三个坐标轴方向。
，还有
t
D/Dt 中的对流导数项不幸地遇到数学上的困难，因为这些是关于速度变量的非线性项。于是，存在有限对流加速度的黏性流动方程在数学上是非线性的，并且从解析的角度也令人头疼，例如，即使是稳态层流，也存在非唯一解、叠加原理不适用等问题。需要注意的是，这些非线性项是加速度，不是黏性应力。具有讽刺意味的是，黏性流动的主要障碍竟然是一个无黏项，而假设黏度为常数时，黏性应力本身反而是线性的。
假设流体无黏，即无摩擦，同时又无旋，这时，加速度项仍然存在，但情况会发生乐观的转变：
(1-8)
此时，
压力项是线性的。
1.2.3 其他运动属性
写
。我们来
y = vy
图1-1流体微团的变形
分析这里所发生的变化。首先，由于平移运动，四边形的角点由B点移到B. 点。其次，由于旋转，对角线从BD变到B.D.。再次，由于膨胀，微元体变得稍微大一点。最后，由于剪应变，正方形变成菱形。
下面从定量角度进一步讨论。这里为帮助理解，我们给出一个简单的函数变化率，具体如下：
ui(x+Δx). ui(x)=
ui
x
Δx =
ui
x
dx (1-9)
其中，ui表示u的任一坐标分量。
下面进入正题，平移由B点的位移量udt和vdt来表示，平移速率分别为u和v。三维情形，分别为u、v和w。
对角线BD的旋转率为dΩz=φ+dα. 45.。注意到，2φ+dα+dβ=90.，代入前式消去φ，可得
1
dΩz=(dα. dβ)(1-10)
2
其中，下标z表示旋转轴平行于z轴。还可以推断旋转是逆时针的，因为从图中观察dα略大于dβ。下面给出dα和dβ的具体计算：
. .
. . .
.. .
. . .
.
v
x
dxdt
dx +
u
x
dxdt
v
x
dt
v
v
dα = arctan dt dt= arctan ≈ arctan=
1+
u
x
x
x
dt (1-11)
. .
. . .
. . .
. . .
.
u
y
dydt
dy +
v
y
dydt
u
y
dt
u
u
dβ = arctan dt dt= arctan ≈ arctan=
1+
v
y
y
y
dt
(1-12)
将式(1-11)和式(1-12)代入式(1-10)，可得
v
u
1dΩz/dt=(1-13)
x .
y
2
类似地，沿x和y轴的旋转率为
1
v
1
u
w
w
dΩx/dt=dΩy/dt=(1-14)
2 y . zz . x
这刚好是角速度向量dΩ/dt的三个分量。因为系数12 容易令人费解，习惯上常用一个2倍于它的量ω来表示，如下：dΩ
ω = 2 (1-15)
dt
，
2
这个新的量ω，在流体力学中是有重要物理意义的，称为流体的涡量。将(1-13)和式(1-14)代入式(1-15)，这样，就将速度向量与涡量构建了关联：ω=rotV=. × V(1-16)因此，涡量的散度为0，即divω=. · ω=div(rotV)=0(1-17)因此，纯数学角度的涡向量代表无源场。如果ω=0，那么流动就是无旋的。下面讨论剪应变，通常将它定义为初始两垂线之间夹角的平均增量，如图1-1所示，AB线和BC线为初始两垂线，那么平均角度增量，即剪应变率为
1.dαdβ1
v
u
(1-18)+ +
εxy=
=
x
y
2dt dt 2
类似地，另两个剪应变率分量分别为
εzx
=
w
+
v
z
u
w
1 1 (1-19)+
εyz
=
y
z
x
2 2
同样，类似固体力学原理，剪应变率是对称的，即εij=εji。第四个也是最后一个微团运动为膨胀或者拉伸应变。同样参考图1-1，沿x方向的拉伸定义为微团水平方向边长的增长率：
u
x
dxdtdx +
. dx
u
εxx
dt = dt (1-20)=
x
dx
同样可得另两个分量，这样，所有三个分量为
εxx
=
u
x
，
εyy
=
v
w
z
(1-21)
εzz
=
，
y
将应变率(包括拉伸和剪切)集中到一个对称二阶张量，可写为
εij
=
. .
.
εxxεxyεxz
εyxεyyεyz
εzxεzyεzz
. .
.
(1-22)
尽管各分量大小随所取坐标轴x、y、z而不同，应变率张量与弹性体应力张量和应变率张量类似，遵循对称张量的坐标变换原理。尤其是无论坐标轴怎么取，或
……
书单推荐
