《有限群初步》是在十多年前出版的《有限群导引》的基础上进行修改、补充、材料更新以及删减过时内容而形成的新的有限群教材. 《有限群初步》共分8 章. 第1 章叙述群论最基本的概念，其中有些内容在群论课程的先修课“抽象代数”中已经学过，但相当部分内容是新的. 整个这一章是学习《有限群初步》的基础，因此必须认真阅读，并且应该做其中大部分的习题. 从第2 章起则是沿着两条主线进行：一条主线是群的作用；另一条主线是关于群的构造问题. 《有限群初步》作者多年从事有限群的教学和研究工作，这《有限群初步》是他多年教学工作的总结.
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这是一部至今（并将在今后几十年中）国内最好的有限群研究方向著作。
二十多年来，徐明曜先生的《有限群导引》（上下册）一直是国内群论研究生和群论研究工作者最好教材和参考书，它为国内群论发展起到了极大的推动作用。26年来，有限群论取得了长足的进步，致使《有限群导引》一书中很多材料已经过时，而新的进展又没能包括进来。徐明曜教授的新作《有限群初步》作为《有限群导引》的姊妹篇，不仅对旧作《有限群导引》有很好的传承，而且增加了很多新的群论研究成果。《有限群初步》充分考虑使用《有限群初步》的不同群体的需要，内容精炼。此书将为今后我国群论发展起着积极的推动作用。
徐明曜，1965年毕业于北京大学数学力学系数学专业。1991年被国家教委和国家学委授予“做出突出贡献的中国博士、硕士学位获得者”。1988年起担任北京大学数学系和数学研究所教授，1992年起任博士生导师（国务院批），2003年起受聘为山西师范大学特聘教授。曾任中国数学会会员，美国数学会会员，美国《数学评论》特约评论员，国际杂志Algebra Colloquim编委。现任International journal of Mathematical Combinations编委，以及Ars Mathematica Contemporance顾问。
科研方向主要为有限群论，特别是有限p-群、代数图论、群与图的联系以及计算群论。出版教材及专著3部，至今已发表论文86篇，其中被SCI收录61篇。
目录
《现代数学基础丛书》序
前言
第1章 群论的基本概念 l
1.1 群的定义 l
1.2 子群和陪集 4
1.3 共轭、正规子群和商群 8
1.4 同态和同构 12
1.5 直积 13
1.6 一些重要的群例 16
1.6.1 循环群 16
1.6.2 有限交换群 17
1.6.3 变换群、Cayley定理 19
1.6.4 有限置换群 20
1.6.5 线性群 21
1.6.6 二面体群 22
1.7 自同构 25
1.7.1 自同构 26
1.7.2 全形 29
1.7.3 完全群 29
1.8 特征单群 32
1.9 Sylow定理 35
1.10 换位子、可解群、p-群 38
1.11 自由群、生成元和关系 44
1.11.1 自由群 44
1.11.2 生成系及定义关系 45
第2章 群作用、置换表示、转移映射 48
2.1 群在集合上的作用 48
2.2 传递置换表示及其应用 5l
2.3 转移和Burnside定理 57
2.4 置换群的基奉概念 63
2.4.1 半正则群和正则群 65
2.4.2 非本原群和本原群 66
2.4.3 多重传递群 68
2.5 阅读材料——正多面体及有限旋转群 70
2.5.1 正多面体的旋转变换群 71
2.5.2 三维欧氏空间的有限旋转群 75
第3章 群的构造理论初步 80
3.1 Jordan-Holder定理 81
3.2 Krull-Schmidt定理 89
3.3 由“小群”构造“大群” 95
3.3.1 群的半直积 96
3.3.2 中心积 97
3.3.3 亚循环群 98
3.3.4 圈积、对称群的Sylow子群 100
3.4 Schur-Zassenhaus定理 104
3.5 群的扩张理论 111
3.6 P临界群 118
3.7 MAGMA和GAP简介 123
第4章 更多的群例 125
4.1 PSL(n，q)的单性 125
4.2 七点平面和它的群 129
4.3 Petersen图和它的群 132
4.4 最早发现的零散单群 136
4.5 域上的典型群简介 138
4.5.1 辛群 141
4.5.2 酉群 141
4.5.3 正交群 143
4.6 阅读材料-Burnside问题 144
第5章 幂零群和p-群 148
5.1 换位子 148
5.2 幂零群 152
5.3 Frattini子群 156
5.4 内幂零群 158
5.5 p-群的初等结果 16l
5.6 内交换p-群、亚循环p-群和极大类p-群 168
5.7 p-群计数定理 l73
5.8 超特殊p-群 176
5.9 正规秩为2的p-群 178
5.10 阅读材料——正则p-群 180
第6章 可解群 192
6.1π-Hall子群 l92
6.2 Sylow系和Sylow补系 195
6.3π-Hall子群的共轭性问题 196
6.4 Fitting子群 198
6.5 Carter子群 203
6.6 群系理论初步 204
6.7 特殊可解群的构造 207
6.7.1 超可解群 207
6.7.2 所有Sylow子群皆循环的有限群 210
6.7.3 Dedekind群 211
6.7.4 可分解群、可置换子群 211
6.8 阅读材料-Frobenius的一个定理 213
第7章 有限群表示论初步 216
7.1 群的表示 216
7.2 群代数和模 223
7.3 不可约模和完全可约模 227
7.4 半单代数的构造 230
7.5 特征标、类函数、正交关系 235
7.6 诱导特征标 246
7.7 有关代数整数的预备知识 25l
7.8 paqb_定理、Frobenius定理 255
第8章 群在群上的作用、ZJ-定理和p-幂零群 259
8.1 群在群上的作用 260
8.2 π'-群在交换π-群上的作用 262
8.3 π'-群在π-群上的作用 267
8.4 关于p-幂零性的Frobenius定理 274
8.5 Glauberman ZJ—定理 277
8.6 Glauberman-Thompsonp-幂零准则 282
8.7 Frobenius群 283
8.8 阅读材料-Grimn定理和p-幂零群 288
8.9 阅读材料——内p-幂零群和Frobenius定理的又一证明 293
8.10 阅读材料-Burnside paqb-定理的群论证明 296
8.11 阅读材料——广义Fitting子群 30l
8.12 阅读材料-Brauer-Fowler定理 304
8.13 阅读材料——有限单群简介 307
附录 有限群常用结果集萃 313
l 和单群有关的结果 313
2 和抽象群有关的结果 3l?
3 和有限p-群有关的结果 318
4 和置换群有关的结果 320
5 进一步阅读的书目 325
习题提示 330
参考文献 357
索引 364
《现代数学基础丛书》已出版书目 37l
第1 章群论的基本概念
阅读提示:本章是群论最基本的知识,学习本书者应该仔细研读,并做大部分习题.
本章是对抽象代数课程中已经学过的群论的基本概念进行复习和补充.因此,很多结果不再给出证明.
1.1 群的定义
定义1.1.1称非空集合G为一个群,如果在G中定义了一个二元运算,叫做乘法,它满足
(1)结合律：(ab)c=a(bc),a,b,c∈ G;
(2)存在单位元素：存在1∈ G, 使得对任意的a ∈ G, 恒有
1a=a1=a;
(3)存在逆元素：对任意的a∈ G,存在a.1 ∈ G, 使得
aa.1 =a.1 a =1.
定义一个群有多种不同的方式.例如,上述条件(2),(3)可以分别减弱为(a1=(2a.)); 存在左(右)单位元素：存在1∈ G, 使得对任意的a ∈ G,有1a=a
(3.)存在左(右)逆元素：对任意的a∈ G,存在a.1 ∈ G,使得a.1a =1
(aa.1 =1).则条件(1),(2.)和(3.)亦可定义一个群.又,我们有定义1.1.2称非空集合G为一个群,如果在G中定义了一个二元运算,叫
做乘法. 它满足
(1)结合律：(ab)c=a(bc),a,b,c∈ G;
(4)对任意的a,b∈ G,存在x,y∈ G,满足ax=b和ya=b.更多的定义群的方法可以参看[45].定义1.1.3如果群G满足
(5)交换律：ab=ba,a,b∈ G,则称G为交换群或Abel群.
在我们熟悉的基本数系,即正整数系N、整数系Z、有理数系Q、实数系R和
复数系C中就可以找到很多群的例子,而且它们都是交换群.例1.1.4Z对加法成群(Z,+).例1.1.5任一数域F对加法成群(F,+).特别地,(Q,+),(R,+),(C,+)
是群.例1.1.6任一数域F的非零元素集合F# 对乘法成群(F# ,).特别地,(Q# ,),(R# ,),(C# , ) 是群. ?
???
例1.1.7正有理数集Q+ 和正实数集R+ 对乘法成群(Q+ ,),(R+ ,).例1.1.8模为1的全体复数对乘法成群C1.??
例1.1.9设n为正整数,n次单位根的全体对乘法组成群Un,并且∞Un =
n=1
U 对乘法也成群. 容易证明, 由数组成的所有有限乘法群都是U 的子群.
例1.1.10整数环Z关于理想(n)的同余类环Zn=Z/(n)对加法成群
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