分形的基本理论及其在科学技术和人文艺术等方面的应用。全书共分10章，用通俗易懂的语言由浅入深地介绍了分形几何的基本概念、分形维数的计算、分形图形的生成、分形生长模型与模拟、分形插值与模拟、随机分形以及与分形密不可分的混沌理论的基本知识。在此基础上，通过总结自然界中的分形行为，用实例概述分形图形、分形维数、分形模拟技术、分形图像编码压缩技术等在自然科学、工程技术、社会经济和文化艺术等领域中的应用成果。
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目录
前言
第1章 分形几何概述 1
1.1 初识分形——典型的分形几何图形 1
1.1.1 康托集 2
1.1.2 康托尘埃 2
1.1.3 方块分形 2
1.1.4 柯赫曲线 4
1.1.5 柯赫雪花 5
1.1.6 明可夫斯基香肠 5
1.1.7 皮亚诺曲线 6
1.1.8 谢尔宾斯基三角垫 7
1.1.9 谢尔宾斯基方毯 7
1.1.10 门格尔海绵 8
1.2 分形几何的定义 9
1.2.1 Mandelbrot的定义 9
1.2.2 Falconer的定义 10
1.3 分形几何的基本性质 12
1.3.1 自相似性 12
1.3.2 无标度性 15
1.3.3 自仿射性 15
1.3.4 分形几何与欧氏几何的区别 16
1.3.5 分形几何的研究对象 16
1.4 分形之父——Mandelbrot 17
1.4.1 分形与 Mandelbrot 17
1.4.2 家庭背景与成长历程 19
1.4.3 获得荣誉 21
第2章 分形维数 22
2.1 基本概念 22
2.1.1 分维概念产生的背景 22
2.1.2 分形维数的基本概念 23
2.2 Hausdorff维数 24
2.2.1 Hausdorff测度及性质 25
2.2.2 Hausdorff维数及性质 30
2.3 相似维数 32
2.3.1 相似维数的定义 32
2.3.2 典型分形图形的相似维数 34
2.4 盒计数维数 37
2.4.1 盒计数维数的定义 37
2.4.2 典型分形图形的盒维数 38
2.5 容量维数 42
2.5.1 容量维数的定义 42
2.5.2 典型分形图形的容量维数 43
2.6 关联维数 44
2.6.1 关联维数的定义和计算方法 44
2.6.2 Chen’s吸引子的关联维数 46
2.7 信息维数 48
2.7.1 信息维数的定义 48
2.7.2 复杂网络的信息维数 48
2.8 其他分形维数测定方法 49
2.8.1 分规法 49
2.8.2 面积-周长法 50
2.8.3 频谱法 52
2.8.4 结构函数法 53
2.8.5 均方根法 53
第3章 分形图形的L-系统生成法 54
3.1 简单的D0L-系统 55
3.1.1 什么是D0L-系统 55
3.1.2 D0L-系统的定义与操作 57
3.1.3 字符串的“海龟”解释 58
3.1.4 D0L-系统实例 59
3.2 D0L-系统的合成 67
3.2.1 边改写 68
3.2.2 点改写 72
3.2.3 边改写与点改写之间的关系 76
3.3 分叉结构 77
3.3.1 轴树结构 77
3.3.2 树0L-系统 79
3.3.3 加括号的树0L-系统 79
3.3.4 加年龄符号的树0L-系统 83
3.4 随机L-系统 89
3.5 参数L-系统 91
3.6 三维L-系统 95
第4章 分形图形的IFS生成法 98
4.1 混沌游戏 98
4.2 仿射变换 100
4.2.1 仿射变换的基本概念 101
4.2.2 4种典型的仿射变换 102
4.2.3 仿射变换的几何特征 102
4.2.4 仿射变换与相似变换的比较 103
4.2.5 Sierpinski三角的仿射变换 104
4.3 IFS的基本理论 106
4.3.1 压缩映射原理 106
4.3.2 拼贴定理 108
4.3.3 IFS的生成过程 108
4.4 生成IFS吸引子的算法 110
4.4.1 确定性迭代算法 111
4.4.2 随机性迭代算法 113
4.5 IFS码的确定 120
4.5.1 变换系数的计算确定法 120
4.5.2 变换系数的交互式确定法 122
4.5.3 随机IFS码中概率的确定 123
4.6 三维IFS 124
4.7 植物的IFS模拟 127
第5章 分形图形的复迭代生成法 131
5.1 复迭代的基本知识 131
5.1.1 简单的复迭代公式 131
5.1.2 复解析函数和黎曼球面 133
5.1.3 复二次多项式迭代 134
5.1.4 动力平面二分性和Julia集的定义 136
5.1.5 参数平面二分性和Mandelbrot集的定义 138
5.1.6 逃逸准则 139
5.1.7 逃逸时间算法 140
5.2 经典Julia集的生成 141
5.2.1 填充Julia集的计算机生成算法 141
5.2.2 填充Julia集的计算机生成优化 142
5.2.3 Julia集的计算机生成 146
5.3 经典的 Mandelbrot集的生成及性质 148
5.3.1 Mandelbrot集的计算机生成 148
5.3.2 Mandelbrot集的自相似性 150
5.3.3 Mandelbrot集的稳定周期 151
5.3.4 Mandelbrot集与Logistic映射之间的关系 156
5.3.5 Mandelbrot集和Julia集之间的关系 157
5.4 复Newton迭代法及计算机生成 158
5.4.1 平面上的Newton迭代法 159
5.4.2 复Newton迭代法的计算机生成 160
5.5 广义高阶J集和M集简介 162
5.5.1 广义J集和M集的定义 162
5.5.2 广义J集和M集的计算机生成 162
第6章 扩散受限聚集模型 167
6.1 分形生长模型概述 167
6.2 二维DLA模型及其计算机模拟 168
6.2.1 二维DLA模型的基本思想 168
6.2.2 二维DLA模型的生长特点 170
6.2.3 二维DLA模型的计算机模拟 172
6.3 三维DLA模型及其计算机生成 173
6.4 DLA模型的分形维数计算 174
6.5 一些分形生长现象 176
第7章 分形插值函数 181
7.1 经典插值函数概述 181
7.2 分形插值曲线 182
7.2.1 分形插值函数概述 182
7.2.2 分形插值曲线模拟 183
7.3 分形插线曲面 187
7.3.1 分形插值曲面定义 188
7.3.2 分形插值曲面实例 189
第8章 随机分形 191
8.1 简单的随机分形生成 191
8.1.1 随机 Koch曲线的生成 191
8.1.2 随机Sierpiński垫片的生成 192
8.2 分数布朗运动 193
8.2.1 布朗运动的研究历程 193
8.2.2 布朗运动的基本知识 195
8.2.3 分数布朗运动 197
8.3 中点移位法生成随机分形 199
8.3.1 一维随机中点移位法 199
8.3.2 二维随机中点移位法 201
8.3.3 Diamond-Square细分法 202
第9章 混沌理论简介 207
9.1 混沌动力学的基本知识 207
9.1.1 混沌现象 207
9.1.2 混沌动力系统 208
9.1.3 混沌的基本特征 211
9.1.4 混沌与分形的关系 212
9.2 种群增长模型 212
9.2.1 种群增长基本模型 213
9.2.2 Verhulst种群方程 213
9.2.3 Logistic映射 221
9.3 Feigenbaum常数 230
9.3.1 分岔行为 230
9.3.2 Feigenbaum常数的求解 231
9.3.3 Henon映射的分岔行为 234
9.3.4 King映射的分岔行为 236
9.4 混沌吸引子 237
9.4.1 Lorenz吸引子 238
9.4.2 Rossler吸引子 240
9.4.3 Chen’s吸引子 244
9.4.4 Duffing振子 247
9.5 混沌实验 253
9.5.1 混沌水轮 253
9.5.2 湍流实验 255
9.5.3 布尼莫维奇台球实验 256
9.5.4 滴水龙头 256
9.6 混沌之父——洛伦兹 257
9.6.1 生平简介 257
9.6.2 蝴蝶效应 258
9.6.3 成果与荣誉 259
9.7 费根鲍姆 260
第10章 分形的应用 262
10.1 分形行为 262
10.1.1 自然界和科学实验中的分形行为 262
10.1.2 人类思维和社会活动中的分形行为 263
10.2 分形图形的应用 264
10.2.1 装饰设计 265
10.2.2 建筑设计 269
10.2.3 分形天线 277
10.3 分形维数的应用 280
10.3.1 轮廓与脉络的分形特性与分形维数 280
10.3.2 粗糙表面的分形特性与分形维数 288
10.3.3 孔隙结构的分形特性与分形维数 295
10.3.4 混沌信号的分形特性与分形维数 298
10.4 分形图形生成技术的应用 303
10.4.1 植物模拟 303
10.4.2 分形图像编码压缩 306
10.4.3 分形图形艺术在电影中的应用 310
10.5 分形在公司和管理中的应用 312
10.5.1 分形公司 312
10.5.2 分形管理 315
参考文献 317
2.1.1 分维概念产生的背景 早在20世纪40年代，英国科学家理查森就观察到，如果用不同的测量单位去测量海岸线的长度，结果会有很大的差别。这是因为测量结果依赖于用做测量的尺子的大小。如果用一英里长的码尺去测量，量得多少码尺，意味着测得的海岸线长度就是多少英里长；如果用一英尺长的码尺去测量，量得的海岸线长度将会更长，因为一英尺长的码尺能测得被一英里长的码尺测量时忽略掉的锯齿边缘。同样的道理，每次用于测量的码尺越短，测得的海岸线长度就会越长，因为总是存在更小的锯齿边缘。因此，海岸线长度测量结果不确定。
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