《微分几何基础(第1卷)》根据S.Kobayashi and K.Nomizu所著的Foundations of Defferential Geometry(Wilev&Sons公司出版的Wiley经典文库丛书(1996版)(第一卷)译出。本卷首先给出了若干必要的预备知识，主要包括微分流形、张量代数与张量分析、Lie群和纤维丛等。本卷的中心内容是联络理论，不仅论述了一般联络理论，还具体讲述了线性联络、仿射联络、黎曼联络等。然后讲述了曲率形式和空间形式以及各种空间变换。此外，本卷还给出了7个附录和11个注释，分别介绍了若干备查知识和历史背景材料。
《微分几何基础(第1卷)》可供数学、物理等专业的研究生及博士生作为教材或参考书，特别是对有志于研究现代微分几何的青年学子更是极为合适的入门书，也可供其他相关人员阅读参考。
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微分几何作为数学的一个分支已有悠久的历史，然而它在现代数学领域中的严格基础却是相对较晚才形成的，我们写的这部两卷集Foundations of Differential Geometry的第一卷，就是要为微分几何提供一个系统的导引，同时它也可以作为参考书使用。
我们所关心的主要事情是使本书成为自封的并且对基础方面的所有标准结果都给出完整的证明。我们希望能够通过下列编排来达到这个目的。在第一章给出微分流形、Lie群及纤维丛的一个概论。不熟悉这些内容的读者可以通过在参考文献中所列出的Chevalley、Montgomery-Zippin、Pontrjagin及Steenrod的书来学习这些科目。这些著作也是我们在第一章的标准参考书。我们还写进了张量代数和张量场的简要内容，其主题是张量场代数的求导问题。在附录中给出了一些在正文中所需要的来自拓扑学、Lie群论及其他方面的结果。有了这些准备，本书是自封的。
第二章包括：Ehresmann联络理论及其最新进展。本章的结果被用于第三章的线性联络和仿射联络也被应用于第四章的Riemann联络，其中关于法坐标、凸邻域、距离、完备性及和乐群的许多基本结果，包括Riemann流形的de Rham分解定理都给出了完整的证明。
目录
译者的话
前言
各章节之间的依赖关系
第一章 微分流形 1
1.1 微分流形 1
1.2 张量代数 13
1.3 张量场 20
1.4 Lie群 30
1.5 纤维丛 39
第二章 联络理论 48
2.1 主纤维丛上的联络 48
2.2 联络的存在与扩张 51
2.3 平行性 52
2.4 和乐群 54
2.5 曲率形式和结构方程 57
2.6 联络的映射 60
2.7 约化定理 63
2.8 和乐定理 67
2.9 平坦联络 69
2.10 局部和乐群与无穷小和乐群 71
2.11 不变联络 78
第三章 线性联络和仿射联络 87
3.1 向量丛上的联络 87
3.2 线性联络 91
3.3 仿射联络 97
3.4 展开 101
3.5 曲率张量和挠率张量 102
3.6 测地线 107
3.7 在局部坐标系中的表示 109
3.8 法坐标 114
3.9 线性无穷小和乐群 118
第四章 Riemann联络 121
4.1 Riemann度量 121
4.2 Riemann联络 124
4.3 法坐标和凸邻域 128
4.4 完备性 136
4.5 和乐群 141
4.6 de Rham分解定理 147
4.7 仿射和乐群 151
第五章 曲率形式和空间形式 155
5.1 代数预备知识 155
5.2 截曲率 157
5.3 常曲率空间 160
5.4 平坦仿射联络和Riemann联络 165
第六章 变换 178
6.1 仿射映射和仿射变换 178
6.2 无穷小仿射变换 181
6.3 等距变换与无穷小等距 186
6.4 和乐等距与无穷小等距 193
6.5 Ricci张量和无穷小等距 196
6.6 局部同构的扩张 199
6.7 等价问题 202
附录1 线性常微分方程 210
附录2 连通的局部紧度量空间是可分的 211
附录3 单位分解 214
附录4 Lie群的弧连通子群 216
附录5 O(n)的不可约子群 217
附录6 Green定理 220
附录7 因子分解引理 223
注释1 联络与和乐群 225
注释2 完备仿射联络和Riemann联络 228
注释3 Ricci张量和纯量曲率 230
注释4 常正曲率空间 232
注释5 平坦Riemann流形 235
注释6 曲率的平移 238
注释7 对称空间 239
注释8 具有循环曲率的线性联络 242
注释9 几何结构的自同构群 244
注释10 具有极大维数的等距变换群和仿射变换群 245
注释11 Riemann流形的保形变换 247
基本符号一览表 249
参考文献 251
索引 260
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