数学的奥秘_[英]理查德·科克伦_9787500161103

本书不是讲授数学的专业书，而是一本读者可以从不同的角度发现数学方程的地图。世界为什么需要它们？它们是如何发展的？今天的价值又是什么？除了极负盛名的经典理论，如芝诺的四个悖论和毕达哥拉斯定理，还有后来的薛定谔曲线和谷歌 PageRank 算法 , 每一个方程式都被分解开来，配合丰富的插图内容，逐一讲解了它们历史和价值、含义和用处。透过这些直观的图示和语言，我们发现这些方程式不仅关乎数学方法和思维，还为更浩瀚的社会科学领域的革新奠定了基础。

公元820年左右，波斯数学家阿布·阿卜杜拉·穆罕默德·本·穆萨·阿尔·花拉子密(Abu Abdullah Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi，约780年约850年)完成了他的手稿《代数学》(Calculation by Completion and Balancing)。在这本书稿中，花拉子密使用了代数一词，收集整理了一些基本的代数运算法则。平衡是代数的基础概念之一，而方程体现的正是平衡之理。假如我们将一个苹果、一个橘子置于天平两端的托盘之上，只有苹果与橘子的重量相等时，天平两边才是平衡的。实际上，每一个方程都表示两个数学式之间的相等关系。
那么，如何阅读这本《数学的奥秘》呢？
本书可以一页一页地从头读到尾。可是，大多数读者不会像翻看小说一样阅读数学书籍。数学拥有自己的概念网络，包含了大量相互联系的概念，需要仔细地研读。有鉴于此，本书中许多章节相互参照，或许不能以某种预设的顺序快速地浏览。有些章节甚至需要在读完它后面的章节之后，再回头重读一遍，方可更好地理解其中的内容。
各位读者也大可不必为此而心生烦恼。我们在学习数学的时候，一旦学懂了某些概念，可能就会突然明白一些先前学过的内容，我们大多数人在大多数时候是不是都有这种感觉呢？即使是伟大的数学家，他们在新的领域学习新知的时候，也会有思路不清、迷惘失措的时候，但他们也会收获意外发现某种联系之后的内心愉悦。有些时候，意外发现之惊喜，实则是美妙的心灵感受，足以让人引以为豪。
在遇到新的数学概念时，我们大都需要借助于直观图像来理解。撰写本书之目的决定了书中的内容不能过于专业化每一章涉及的数学知识，或是初级的、简单的，或是高级的、复杂的，但互为关联，共同形成了统一整体。本书意欲达成之目标，就是用简朴的语言来解释一般性的数学概念，并构建起这些概念之间的相互对话。
但有些时候，相关讨论不可避免地需要在数学、科学和日常生活等不同领域之间交叉跨越。因此，本书需要用到一些简单易懂的表达。将抽象概念简单化，或许可以得到数学初学者的欣赏，但一定需要请求数学专家们的原谅。出于相同的原因，书中的插图也没有标注数值、尺度，这又可能会使一些数学教师大为光火。然而，去掉细枝末叶的信息真的无关紧要，反而可以让我们聚焦于探讨问题的全貌。
无论怎样，本书是有关数学方程的，那么，它又怎样处理数学符号呢？大多数普及性数学著作的作者与编辑，会精心地设计出一套技术路线来，以避免过多地使用那些令人生畏的数学公式。本书反其道行之。数学家发明的数学符号，原本就是为了将问题简单化的，不是吗？
从某种意义上说，数学家使用的符号，与音乐家的乐谱符号、编辑的校对符号、舞美的编导符号、绣娘的编织符号和棋手的棋谱符号一样，都是特殊符号如果我们不能解析出这些符号所指何物，就完全不会明白它们所示何意。一旦我们弄清了它们指代的含义，它们就犹如美丽的图画，可以简洁、明晰地传递信息，其表达功效远胜于啰唆繁复的言语。
本书讲述数学知识的方式，不一定完全具有逻辑性。数学有着久远的历史，有些数学概念与大多数事物一样，可能是独特的，也可能是怪异的；可能是的，也可能是愚蠢的，但相关概念产生的历史进程又是有迹可循的，所以，追本溯源或许可以帮助我们从源头上来探究数学方程的奥秘。当然，也许可以采用全新的叙事方式来讲述方程，使内容更具连贯性，但若非驾轻就熟，这么做将是愚蠢又鲁莽的冒险。
所以，当你对书中某个数学符号知其然不知其所以然时，不要为此而发愁。有时候，你甚至会发现，读懂那些印在某一页上的文字，远比理解某个数学符号更为困难。本书的相关讨论，涉及一套完整的符号系统，但这些符号几乎全都是数学家随意创设的，符号本身与所指概念之间没有任何关联。假如你能解析符号所指，相信你也能克服理解文字的困难。
举例来说吧，相信各位读者都了解正整数和负整数，知道什么是分数，也明白一些代数原则。例如，字母或别的什么符号，可以用来表示未知数或可变数。两个未知量相乘，可以用一个字母置于另一个字母之后来表述，即 ab=ab ; 而某个数除以另一个数，也可以用分号表述为:a÷b= ab。再如，等号=是极为重要的运算符号，其意义在于它两边表达式代表的值相等。其他的数学符号将在正文内分别给予介绍。
方程好比小型的机器，依靠各自的零件维持运转。我们的主要任务，就是弄清楚在每一部正常运转的机器中，每一个零件可以做什么，它又是如何与其他零件相互作用的。
就理解数学符号而言，我们有时需要拆分或解码数学符号，有时需要以简单的实例加以说明，有时则需要从底层的问题出发，或者从鲜为人知的方面开始，但有关方程的很多内容都是一笔带过的，所以，我们向读者呈现的也仅仅是方程大观园里的匆匆一瞥。
事实上，假若以讲授数学知识先易后难的惯例来判断，本书并未遵循传统，各章节的内容难易程度不一。某一节说的还是中学水平的代数，而紧接其后的内容又达到了大学难度。我有意地忽略了难度跳跃，因为数学问题不可能全部按照预设的难度水平循序渐进地出现，对吧?我们在儿时学会的一些算术运算，竟然是深奥甚至神秘的数学难题；而许多所谓具有高阶的数学难题，一旦用数学专业的行话来解释，实质上是极易领悟的。
总而言之，阅读此书时，读者可以像阅读其他书籍一样，多读自己能理解的内容，细读自己感兴趣的内容。任何行得通的阅读方法，都是阅读本书的良方。

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