本书为日本数学家伊藤清创作的现代概率论著作。书中以最小限度的预备知识为前提，以简练的笔法系统讲解了测度论基础，以及现代概率论的基础体系与概念，为引导读者理解“随机过程”，特别是Markov过程做了细致准备。此外，本书还展示了“伊藤引理”的构想原点，收录了概率论发展的历史过程。对于背景知识较为薄弱的读者，作者则从各章的主要脉络上，为其准备了一条了解现代概率论轮廓的轻快之路。
本书适合相关专业的本科生、研究生和教师阅读学习，也适合作为数学、物理、金融等领域的研究者的参考资料。
沃尔夫奖、高斯奖得主，现代随机分析之父、日本数学大家-伊藤清之作
现代概率论的名著
伊藤清先生是现代概率论研究的开拓者之一，伊藤积分、伊藤公式已经成为随机分析的根基，伊藤之名也广为人知。2006年，他获得了国际数学家大会（ICM）的首届高斯奖。此外，他还获得了沃尔夫奖、日本文化勋章、京都奖等多项荣誉。
——日本数学会
“伊藤引理”大概是目前世界上应用最为广泛的数学成果。这一成果，其重要性好比微积分基本定理之于古典分析，是随机分析中必不可少之物。
——美国国家科学院
伊藤清
1915—2008，日本数学家，日本学士院院士，日本京都大学教授。随机分析的创始人之一，日本概率论研究的奠基者。曾任京都大学数理分析研究所所长，日本数学会理事长。他因在概率论方面的奠基性工作而获1987年的沃尔夫奖，并于1998年获得京都奖，2006年获得首届高斯奖。伊藤清的工作集中于概率论，特别是随机分析领域，他被誉为“现代随机分析之父”，因他命名的理论有伊藤引理、伊藤积分、伊藤过程等。他的研究不仅推动了现代数学的发展，还对物理学、经济学、统计学等学科产生了深远影响。著有《概率论》《随机过程》《我与概率论：伊藤清文集》等。
目录
第 1章 概率论的基本概念 1
1 概率空间的定义 1
2 概率空间的实际意义 3
3 概率测度的简单性质 5
4 事件，条件，推断 10
5 随机变量的定义 12
6 随机变量的合成与随机变量的函数 15
7 随机变量序列的收敛性 16
8 条件概率、相依性与独立性 21
9 均值 26
第 2章 实值随机变量的概率分布 29
10 实值随机变量的表现 29
11 R-概率测度的表现 32
12 R-概率测度之间的距离 33
13 R-概率测度集合的拓扑性质 35
14 R-概率测度的数字特征 38
15 独立随机变量的和，R-概率测度的卷积 43
16 特征函数 46
17 R-概率测度及其特征函数的拓扑关系 50
第3章 概率空间的构成 54
18 建立概率空间的必要性 54
19 扩张定理(I) 55
20 扩张定理(II) 57
21 Markov 链 59
第4章 大数定律 63
22 大数定律的数学表现 63
23 Bernoulli 大数定律 65
24 中心极限定理 66
25 强大数定律 69
26 无规则性的含义 73
27 无规则性的证明 76
28 统计分布 81
29 重对数律与遍历定理 82
第5章 随机变量序列 84
30 一般的问题 84
31 条件概率分布 85
32 单纯Markov 过程与转移概率族 87
33 遍历问题的简单例子 89
34 遍历定理 92
第6章 随机过程 99
35 随机过程的定义 99
36 Markov 过程 101
37 时空齐次的Markov 过程(I) 103
38 时空齐次的Markov 过程(II) 112
39 一般Markov 过程与平稳过程 115
附录1 符号 119
附录2 参考文献 121
附录3 后记与评注 122
概要与背景 124
索引 144
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