20世纪美国数学史家莫里斯·克莱因（Mor-risKline,19081992）认为,文艺复兴是数学精神的复兴。文艺复兴时期的意大利画家达·芬奇也承认,只有紧紧地依靠数学,才能穿透那琢磨不透的思想迷魂阵。也正因为文艺复兴打通了数学与艺术的界限,才使得接下来的17 世纪成为天才的世纪,且有多位横跨文理的巨人。以至于英国哲学家怀特海(AlfredWhitehead,18611947)在列举了诸多伟大发现之后感叹道,这个世纪可以说是时间不够,没法把天才人物的重大事件摆布开来。
相比之下,音乐与数学的关系更为隐秘,但历史却更加悠久,肇始于毕达哥拉斯时代。有一天,这位哲人走过一家铁匠铺,听到了叮叮当当的声音,他经过研究,发现了音程之间的数的关系,继而提出了万物皆数这一哲学论断,持续影响了后世的欧洲文明。而到了18 和19 世纪,德意志的名山哈茨山南北两侧,两座地理上对称的小城爱森纳赫和不伦瑞克,相继诞生了音乐之父巴赫和数学王子高斯。前者被誉为音乐家中的数学家,后者的数学发现和理论有着天籁般的音乐之美。而与巴赫同时代的瑞士数学家欧拉则撰写了著作《音乐新理论的尝试》,他还提出了调性网络的概念,如今仍应用于和声学的研究。
高斯是非欧几何学的三位发现者之一,另一005位发现者、匈牙利数学家鲍耶生前籍籍无名,但有一句话流传后世,从虚无中,我开创了一个新的世界。非欧几何学大大拓宽了数学的研究领域,它与欧氏几何主要的区别在于公理体系中采用了不同的平行公设。在黎曼几何中,球面上的直线是大圆(圆心在球心的圆),两点间的短距离是经过这两点的大圆上的弧线。例如,从上海飞纽约的短航线不是经过太平洋,而是经过北冰洋。爱因斯坦的广义相对论原理也在于此,引力源于时空弯曲,光沿着弯曲的弧线传播。
鲍耶去世七年以后,诞生了二元政体的奥匈帝国,而在他去世前四年,奥地利医生弗洛伊德已经出生,他后来创立了精神分析学,对现代主义艺术进行了细致的剖析。弗洛伊德与布洛伊尔合著的《癔病研究》是所谓的自动写作法的延伸,而他的《梦的解析》是一部具有划时代意义的巨著,书中分析了梦的工作和基本活动,认为梦是以扭曲的形式体验到的被禁止的欲望,所有的玩笑都有认真的成分。弗洛伊德还给出了力比多和本我、自我、超我等概念,为潜意识学说奠定了基础,堪称人类认识自身的里程碑。特别地,弗洛伊德的学说深刻地影响了超现实主义诗歌和绘画。
进入20 世纪以来,抽象化成为数学和艺术的共性,我们各举它们的两个主要分支拓扑学和抽象代数、超现实主义和表现主义为例,说明共性和个性的存在。拓扑学有着华丽的几何外表,而抽象代数充斥着理性的符号。在同时代的诸多现代主义艺术流派中,也有两个有着颇为相似的风格特征,那便是载歌载舞的超现实主义和含蓄内敛的表现主义。有趣的是,弗洛伊德遗产的继承人、法国哲学家拉康不仅用语言学重新阐释了弗氏学说,还把拓扑学和集合论作为精神分析学优先研究的外部对象。
说到数学和艺术的关系这个主题,有许多科学家(包括诺贝尔奖得主)和艺术家都曾做过不同程度的探讨。但我留意到,他们更关注数学和艺术的外在形式,比如对称之美(也有的在方法论上做过探究)。但从数学和艺术的发展历程来揭示它们之间的相似性和本质属性,似乎还没有人做过系统的阐释。本书是这方面的一次尝试。正如西班牙哲学家乔治·桑塔耶纳所言:机智的特征在于深入到事物的隐秘深处,从中找寻到相互关系。幸运的是,本人在数学和艺术两方面都做了长时间的实践和探索,有着手的经验和认识,加以适当的提炼和总结,写成了这本小书,期待得到各方读者的批评指正。
值得一提的是,1997 年元月,我获得机会申报霍英东教育基金会的高等学校青年教师基金项目,决定以数学与艺术为题并列好目录和写作计划,随后冒昧打电话给有一面之交的数学家吴文俊先生(中国科学院院士、首届国家科学技术奖得主),没想到吴老先生认为这是创新项目,值得一试,他欣然同意,并亲笔撰写了书。遗憾的是,那次申请没有成功,我也没有再见到吴老。20 多年过去了,设立人文社科专项科普基金,我以数学与艺术为题再次申报,终获成功,也算可以告慰吴先生在天之灵了.
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