《数学分析讲义·第三卷》始于实数的基本理论.接着进入一元微积分学,包括极限、连续、级数、微分、复数、积分等,重视它对现代数学的启迪,适时介绍些抽象概念(如对基的极限),以利于拓展到一般分析学.其次探讨拓扑空间(特别是度量空间、欧氏空间nR)的映射,展开多元微积分学,其中涉及隐函数定理、集合上的积分、流形(特别是nR中的曲面)及微分形式、流形(特别是曲线与曲面)上微分形式的积分、向量分析与场论.继而研究线性赋范空间中的微分学、函数项级数与函数族的基本分析运算、含参变量的积分(特别是函数的卷积与广义函数等)、傅里叶变换、渐近展开等.
《数学分析讲义·第三卷》分3卷出版,《数学分析讲义·第三卷》为第三卷.第一、二卷大体上适合那些仅安排在1学年时间内学习“数学分析”课程的学生,而全套则可用以安排3个或4个学期的“数学分析”课程.
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目录
前言
第12章 线性赋范空间中的微分学 545
12.1 线性赋范空间 545
12.1.1 线性空间 545
12.1.2 线性空间中的范数 546
12.1.3 向量空间中的数量积 549
12.2 线性和多重线性算子 552
12.2.1 定义和例子 552
12.2.2 算子的范数 554
12.2.3 连续算子空间 558
12.3 映射的微分 563
12.3.1 在一点可微的映射 563
12.3.2 微分法的一般法则 564
12.3.3 一些例子 565
12.3.4 映射的偏导数 571
12.4 有限增量定理和它的应用的一些例子 574
12.4.1 有限增量定理 574
12.4.2 有限增量定理应用的一些例子 576
12.5 高阶导映射 580
12.5.1 n阶微分的定义 580
12.5.2 沿向量的导数和 n 阶微分的计算 581
12.5.3 高阶微分的对称性 582
12.5.4 若干评注 584
12.6 泰勒公式和极值的研究 586
12.6.1 映射的泰勒公式 586
12.6.2 内部极值的研究 586
12.6.3 一些例子 588
12.7 一般的隐函数定理 594
第13章 一致收敛性， 函数族的分析运算 600
13.1 逐点收敛与一致收敛 600
13.1.1 函数序列的逐点收敛性 600
13.1.2 依赖于参数的函数族的逐点收敛性 601
13.1.3 依赖于参数的函数族的一致收敛性 601
13.1.4 一致收敛的柯西准则 604
13.2 函数项级数的一致收敛性 606
13.2.1 级数一致收敛性的基本定义和判别准则 606
13.2.2 级数一致收敛的魏尔斯特拉斯检验法 608
13.2.3 阿贝尔-狄利克雷检验法 610
13.3 极限函数的函数性质 614
13.3.1 两个极限过程可交换的条件 614
13.3.2 连续性与极限过渡 615
13.3.3 积分法与极限过渡 618
13.3.4 微分法与极限过渡 620
13.4 连续函数空间的紧子集和稠密子集 626
13.4.1 阿尔泽拉-阿斯柯利定理 626
13.4.2 度量空间C(K;Y) 628
13.4.3 斯通定理 629
第14章 含参变量的积分 633
14.1 含参变量的常义积分 633
14.1.1 含参变量积分的概念 633
14.1.2 含参变量积分的连续性、微分法、积分法 633
14.2 含参变量的反常积分 639
14.2.1 反常积分关于参数的一致收敛性 639
14.2.2 反常积分号下取极限 646
14.2.3 含参变量的反常积分的连续性、微分法、积分法 647
14.3 欧拉积分 657
14.3.1 β函数 657
14.3.2 函数 658
14.3.3 β函数和函数的联系 661
14.3.4 一些例子 662
14.4 函数的卷积和广义函数的初步知识 668
14.4.1 卷积的物理背景 668
14.4.2 卷积及其某些性质 669
14.4.3 δ-型函数族和魏尔斯特拉斯逼近定理 672
14.4.4 分布的初步概念 677
14.5 含参变量的重积分 687
14.5.1 含参变量的常义重积分 687
14.5.2 含参变量的反常重积分 688
14.5.3 具变奇异性的反常积分 689
14.5.4 高维情形的卷积、基本解和广义函数 692
第15章 傅里叶级数与傅里叶变换 703
15.1 一些与傅里叶级数有关的一般概念 703
15.1.1 内积空间的有关结果 703
15.1.2 傅里叶系数和傅里叶级数 705
15.1.3 正交函数组的一些例子 709
15.2 傅里叶三角级数 719
15.2.1 经典傅里叶级数收敛性的基本形式 719
15.2.2 傅里叶三角级数逐点收敛性的研究 723
15.2.3 函数的光滑性和傅里叶系数的下降速度 731
15.2.4 三角函数系的完全性 735
15.3 傅里叶变换 744
15.3.1 函数的傅里叶积分表示 744
15.3.2 规范化的傅里叶变换 750
15.3.3 应用举例 760
第16章 渐近展开 771
16.1 渐近公式和渐近级数 772
16.1.1 基本定义 773
16.1.2 渐近级数的一般知识 777
16.1.3 渐近幂级数 780
16.2 渐近积分(拉普拉斯方法) 786
16.2.1 拉普拉斯方法的基本思想 786
16.2.2 拉普拉斯积分的局部化原理 789
16.2.3 典型积分及其渐近式 790
16.2.4 拉普拉斯积分的渐近主项 793
16.2.5 拉普拉斯积分的渐近展开 796
学习《数学分析讲义》感言 808
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