本书由中国科学院自然科学史研究所研究员、中国数学史领域的**学者郭书春先生担纲指导。
从公元前一二世纪经典算学著作《九章算术》成书，一直到14世纪初的元朝，中国数学在世界范围内遥遥领先，占据着世界数学舞台的中心，取得了无数令人惊叹的成就，如领先西方千年的圆周率计算、声名远播的“贾宪三角”等。本书本着严谨、认真的态度，沿着历代数学先贤留下的足迹，将中国古代数学的发展历程简单、清晰又不失全面地介绍给读者，使读者能够一览中国算学数千年的辉煌。同时，书中穿插了很多经典、古老而又耐人寻味的数学问题以及妙趣横生的“铺地锦”“纵横图”等数学游戏，读者一边阅读、思考，一边动手计算，必将会有不小的收获。
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第一章 数学工具/1
一、规和矩/1
二、算筹/2
三、珠算盘/5
第二章 辉煌成就/8
一、数系的扩充——分数和小数/8
二、古老的“万能算法”——盈不足术/10
三、最古老的线性方程组解法——方程术/15
四、平凡而巧妙——出入相补原理/21
五、如何测出太阳的高度——重差术/32
六、算之纲纪——率和齐同原理/37
七、极限思想与无穷小分割的首秀——割圆术/40
八、超越时代的洞见——刘徽原理及其证明/46
九、延续千年的数学接力——球体积的探索/50
十、能直接搬到计算机上的开方法——增乘开方法/55
十一、古代的设未知数列方程——天元术与四元术/63
十二、堆垛的酒坛知多少？——垛积术/68
十三、韩信点兵的秘密——孙子定理和大衍总数术/75
第三章 数学史话/84
一、算经之首——《九章算术》/84
二、古代世界数学泰斗——刘徽/87
三、古代的数学教材——十部算经/89
四、伟大的时代——宋元数学高潮/93
五、寻常百姓家的数学——明代数学/97
六、和“洋人”的算学交流——中西数学会通/100
结语/105
参考文献/106
一、规和矩
中国有句古话“没有规矩，何以成方圆？”（或“没有规矩不成方圆”），生活中，我们从小到大也常会听到长辈们要我们“懂规矩”“守规矩”或“要规规矩矩的”等诸如此类的话。这里的“规矩”有“法度”“规范”之意，而这些含义都来自中国古代的两种数学工具：规和矩。规，即圆规，用于画圆；矩，为折成直角的曲尺，用于画方。规和矩代表了中国古代数学空间形式研究的开端。规、矩的起源很早，关于它们的产生有不同的说法：有的说是黄帝时的巧匠倕（chuí）创造了规、矩；也有的将规、矩的发明追溯到中华民族的始祖伏羲，例如在山东嘉祥汉代武梁祠和新疆阿斯塔那唐墓，都发现有伏羲手执规、女娲手持矩的古代图画。不管何样的说法，都记述了一个史实，那就是：中国古人早在远古时代就已经开始使用
规和矩这两种工具来进行绘制和测算了。
规、矩的应用十分广泛，绘制图形，测算物体的高、深、广、远等都离不开它。《史记》记载，大禹治水时，他左手持准绳，右手执规、矩，进行水利工程测量，才完成了治水使命。古代匠人在检验车轮是否合格时，也用规、矩校准轮子是否为正圆、轮面是否平正等。魏晋时期的大数学家刘徽说：“亦犹规矩度量可得而共”，将规矩引申为事物的空间形式，并概括了中国古代数学几何与算术、代数相结合的特点。
二、算筹
算筹，又称“筭（suàn）”“算子”“筹策”等，它于什么时候产生已不可考，其记载最先见于春秋时期的《老子》。算筹是一根根用于计算
的长条形小棍子，粗细相同，长度稍异，一般由竹子或兽骨制成，个别豪华精美的还会选用金银、象牙等贵重材料。根据《汉书》的记载，算筹“径一分，长六寸”(直径0.23cm，长13.8cm），截面为圆形。后来随着数学的发展，算筹长度变短，东汉时已缩短到9cm左右，截面也改为不易滚动的方形。负数产生后，常用红筹表示正数，黑筹表示负数；有时也将算筹斜向摆放以表示负数。在宋元算书算草中，常见末位有效数字上画着一道斜线，用以表示此数为负数。
算筹记数分为纵式和横式两种方式：
算筹纵横交错可以很方便地表示任意的自然数，也就是个位数字要用纵式表示，与之相邻的十位数字用横式表示，百位、万位数字用纵式表示，千位、十万位数字用横式表示，这样纵横相间地排布下去……《算学启蒙总结》中的口诀说得好：“一纵十横，百立千僵（卧倒的意思）。千十相望，万百相当。”
古代算筹不仅是日常生活中不可缺少的计算工具，也是上等阶层身份地位的一种象征，历朝都规定一定
品级之上的官员必须要随身佩戴装算筹的算袋。传说秦始皇有一次去东海巡游，一不小心将算袋掉进了海里，这个算袋在后来就化成了墨鱼。因此，至今东南沿海的有些渔民仍然称墨鱼为算袋鱼。
当数字中有一位为0时，此时用空位表示。可以看出，由于布置算筹时遵守纵横相间的规则，很容易辨别出两个数目间是否存在空位。
算筹记数采用十进位值制记数法，这是当时世界上最先进的记数制度，包括十进位和位值制两条原则：“十进”即满十进一；“位值”指同一个数字处在不同的位置上所表示的数值也不同，就如先秦典籍《墨经》中所说：“一少于二而多于五，说在建位”，即1在个位上表示1，故小于2，而当它处于十位上则表示10，比5要大。这种记数法使得复杂的整数表示和演算变得简便易行，对于中国数学的发展影响极为深远。
使用算筹计算，叫做筹算。筹算的加减法较为容易，古算经中未记载。《孙子算经》记载的乘法计算步骤为：
（1）二数相乘时，先用算筹布置一数于上行，另一数于下行（古代没有被乘数和乘数的叫法），中间一行用于布置乘积。将下行的数向左移动，使下数的末位和上数的首位对齐。
（2）以上数首位数自左向右地乘下数各位，将所得数布置于中间一行，并且将后得的乘积依次加到之前已得的数上。上数的首位乘完下数各位后，去掉，将下数向右移一位。
（3）以上数的第二位乘下数各位，将乘积加到中间一行已得的积中。如此继续下去，直到上数各位一一去掉，中间一行所得的数就是二数的乘积。
……
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